STANDARISASI LABOLATORIUM PENDIDIKAN

SISTEM BILANGAN RIIL

A.      Sistem Bilangan Riil

Sistem bilangan merupakan dasar matematika. Oleh karena itu, sangatlah penting untuk mengenal berbagai jenis bilangan dan perbedaan di antara bilangan-bilangan tersebut. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil dan operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasanya bilangan riil dilambangkan dengan R. secara skematis  dapat ditunjukkan pada bagan berikut ini.

Bilangan Riil (R)
Bilangan Irrasional (H)
Bilangan Rasional (Q)
Bilangan Bulat (B)
Bilangan Pecahan
Bilangan Desimal Berulang
Bilangan Desimal Terbatas
Bilangan Negatif
Bilangan Cacah (C)
Bilangan Nol
Bilangan Asli (A)
Bilangan Kompleks
Bilangan Imajiner

·           Bilangan asli                   :

·           Bilangan cacah               :

·           Bilangan bulat                :

·           Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang mempunyai bentuk  atau bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk , dimana p dan q adalah anggota bilangan bulat dan .

Contoh

Buktikan bahwa bilangan-bilangan berikut :

a.         0,333…

b.        0,123123…

c.         2,5858…

adalah bilangan rasional!

Bukti!

a.

(lakukan hal yang sama untuk point b dan c)

Bilangan desimal yang mempunyai angka dibelakang tanda koma tak terbatas dan tak berulang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian bilangan bulat . seperti .

·      Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian bilangan bulat.

Contoh :

Bilangan  adalah bilangan irrasional.

·      Bilangan Riil

-3

-1
0
1,5
2,5
Gabungan bilangan rasional dengan irrasional membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut bilangan riil dan dinotasikan dengan R. Garis bilangan riil adalah tempat kedudukan titik-titik yang menunjukkan suatu bilangan riil tertentu yang tersusun secara terurut. Perhatikan garis bilangan riil berikut :

·      Bilangan Imajiner

Bilangan kompleks yang bukan bilangan riil disebut bilangan imajiner. Jadi bilangan imajiner berbentuk  dengan .

Contoh :    dsb.

·      Bilangan Kompleks

Kuadrat suatu bilangan riil selalu tidak negatif. Oleh karena itu, persamaan  tidak mempunyai penyelesaian dalam bentuk bilangan riil. Para matematikawan memperkenalkan bilangan baru dengan notasi i yang disebut bilangan kompleks yaitu bilangan yang berbentuk  dengan a dan b bilangan riil. Definisi bilangan kompleks

Contoh :  dengan  dan

B.       Operasi pada Bilangan Riil

1.        Sifat Operasi Penjumlahan

Jika a, b merupakan bilangan riil maka hasil penjumlahan antara a dan b adalah bilangan riil c dan ditulis : .

Untuk bilangan riil a, b dan c berlaku sifat-sifat operasi penjumlahan sebagai berikut:

a.         Sifat tertutup

Penjumlahan dua bilangan riil menghasilkan bilangan riil juga.

b.        Sifat komutatif

c.         Sifat asosiatif

(

d.        Adanya elemen  identitas/netral

, bilangan 0 dinamakan elemen identitas untuk penjumlahan

e.         Adanya elemen invers

, bilangan  dikatakan invers penjumlahan dari a.

2.        Sifat Operasi Pengurangan

Untuk bilangan riil a, b dan c berlaku sifat-sifat operasi pengurangan ebagai berikut:

a.         Sifat tertutup

Pengurangan dua bilangan riil menghasilkan bilangan riil juga.

b.        Sifat tidak komutatif

Jika  maka

c.         Sifat tidak asosiatif

Jika  maka

3.        Sifat Operasi Perkalian

Untuk bilangan riil a, b dan c berlaku sifat-sifat operasi perkalian sebagai berikut:

a.         Sifat tertutup

Perkalian dua bilangan riil menghasilkan bilangan riil juga.

b.        Sifat komutatif

Jika

c.         Sifat asosiatif

Jika

d.        Adanaya elemen identitas/netral

bilangan 1 dinamakan elemen identitas untuk perkalian

e.         Adanya elemen invers

, bilangan  dikatakan invers perkalian dari a.

4.        Sifat Operasi Pembagian

Untuk bilangan riil a, b dan c berlaku sifat-sifat operasi pembagian ebagai berikut:

a.       Sifat tertutup

Pembagian dua bilangan riil dengan penyebut tidak nol menghasilkan bilangan riil.

b.      Sifat tidak komutatif

Jika dan  maka

c.       Sifat tidak asosiatif

Jika  tidak nol,  dan  maka

C.      Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang menagndung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda . Ditinjau dari jumlah dan pangkat peubah maka pertidaksamaan dapat dibagi menjadi pertidaksamaan linear dengan satu peubah, pertidaksamaan linear dengan peubah banyak dan pertidaksamaan kuadrat.

Sifat-sifat pertidaksamaan :

i.            Jika  dan , maka

ii.            Jika  maka

iii.            Jika  maka

iv.            Jika  dan  adalah bilangan positif, maka

v.            Jika  dan  adalah bilangan negatif, maka

vi.             jika  dan  atau jika  dan

vii.             jika  dan  atau jika  dan

viii.             jika  dan  atau jika  dan

ix.             jika  dan  atau jika  dan

x.            Jika  maka

xi.            Jika  maka

xii.            Jika  maka  dan  (bentuk komposit)

xiii.            Jika  maka  atau  (bentuk komposit)

D.      Selang (interval)

Selang adalah himpunan bagian dari bilangan riil yang mempunyai sifat relasi tertentu. Jika batas-batasnya merupakan bilangan riil maka dinamakan  selang hingga. Jika bukan bilangan riil maka dinamakan selang tak hingga . Lambang  menyatakan membesar tanpa batas dan lambing  menyatakan mengecil tanpa batas. Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini.

Notasi
Definisi
b
a
Grafik
Keterangan

b
a
(                        )
Selang terbuka

b
a
[                        ]
Selang tertutup

b
a
[                        )
Selang setengah terbuka

a
(                        ]
Selang setengah terbuka

(
Selang terbuka

a
b
[
Selang tertutup

b
)
Selang terbuka

]
Selang tertutup

Selang terbuka
E.       Pertidaksamaan linear satu peubah

Pertidaksamaan linear satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat satu peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda . Bentuk umum dari pertidaksamaan linear satu peubah adalah : , dengan a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda .

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

a.

b.

c.

F.       Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan dan didefinisikan sebagai :

Teorema-teorema

Jika a dan b adalah bilangan riil, maka :

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

<!–[if gte msEquation 12]>  ix.          x<y=x2<y2

x.          ab=a|b|

xi.          ab=|a||b|, b≠0

xii.          a+b≤a+|b|  (ketidaksamaan segitiga)

xiii.          a-b≤a+|b|

xiv.          a|-|b≤|a-b|

Contoh

Selesaikan pertidaksamaan berikut : (gambarkan garis bilangan dan selangnya)

a.         |x-5|≤4 ,

b.        x+3x-4<2

Latihan Soal

1.        Nyatakan bilangan desimal berikut dalam bentuk pecahan

a.         0,666…

b.        2,5656…

d.        0,02727…

e.         0,1818…

f.         0,0222…

g.        0,0555…

h.        0,549549…

i.          0,03636…

2.        Selesaikan pertidaksamaan berikut :

a.         5x+6≥3x-9

b.        12+5x<35-6x

c.         137x-3<x+1

d.        1-2×3>2x+x5

e.         6≥2-x9≥16

f.         15>3-2×7>16

g.        x-3×2-8x+7>0

h.        5x-7>7x+5

3.        Selesaikan pertidaksamaan harga mutlak berikut :

a.         x+8<2

b.        6-2x≥7

c.         4x-53>6

d.        7+6×4≤3

e.         x-22>4x-2+12

f.         x2-2-6+2x<0

g.        x2+5x<6

h.        x2-|x|≤6

i.          14×2-10<6

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s